Os
termos "hidrostática" e "hidrodinâmica"
são usados para o estudo dos fluidos em repouso e em movimento,
respectivamente. O ramo especial da Hidrodinâmica relativo ao escoamento
dos gases e do ar em particular é chamado "Aerodinâmica".
Fluido é uma substância que pode escoar e, assim, o termo
inclui líquidos e gases que diferem notavelmente em suas compressibilidades;
um gás é facilmente comprimido enquanto um líquido
é praticamente incompressível. A pequena variação
de volume de um líquido sob pressão pode ser omitida no
presente estudo.
1. Densidade
A densidade de um
material homogêneo é definida como sua massa por unidade
de volume. As unidades de densidade nos quatro sistemas são: quilograma
por metro cúbico (1 kg m-3), grama por centímetro
cúbico (1 g cm-3), slug por pé cúbico
(1 slugft-3), e a unidade técnica de massa por metro
cúbico (1 utm m-3). Representaremos a densidade pela
letra grega r(rô):

Por exemplo, a massa
de 1 litro (1.000 cm3) de água é 1.000g; sua
densidade, portanto, é1.000/1.000 = 1 g cm-3. Valores
típicos de densidade à temperatura ambiente são dados
na Tabela.
Gravidade específica de um material é a relação
de sua densidade para a da água e, consequentemente é uma
quantidade adimensional. "Gravidade específica" é
um termo inadequado pois nada tem a ver com gravidade. "Densidade
relativa" descreve o conceito mais precisamente.
2. Pressão em um fluido
É um fato conhecido que a pressão atmosférica diminui
com a altitude e que num lago ou no mar, aumenta com a profundidade.
Generalizamos o conceito de pressão e a definimos num ponta qualquer
como a relação entre a força normal dF exercida sobre
uma área elementar dA, incluindo o ponto, e esta área:

Se a pressão
for a mesma em todos os pontos de superfície plano finita
de área A, estas equações reduzem-se à
equação:
|

Figura 1 - pressão
em uma superfície |

Figura 2 - as
várias pressões exercidas em um bloco |
Determinemos
a relação geral entre pressão p em um ponto qualquer
de um fluido e a elevação y do ponto. Se o fluido estiver
em equilíbrio, cada elemento de volume também estará.
Consideremos um elemento com a forma de uma lâmina fina, de
espessura dy e face de área A. |
Se r
é a densidade do fluido, a massa do elemento será rA
dy e seu peso, dw, será rgAdy.
A força exercida sobre esse elemento pelo fluido que o envolve
é, em qualquer parte, normal à superfície. Por simetria,
a resultante horizontal na borda é nula. A força para cima,
agindo na sua face inferior, é pA, e a para baixo, agindo na face
superior, (p+dp)A. Como o volume elementar está em equilíbrio,

pA - (p+dp)A - rgAdy=0,
onde

Como r
e g são quantidades positiva, segue-se que para um dy positivo
(acréscimo de elevação) o correspondente dp será
negativo (decréscimo de pressão). Se p1 e p2
são as pressões nas elevações y1
e y2 acima de um nível de referência escolhido,
a integração da equação acima, quando r
e g são constantes, dá:
Figura 3 -
Alturas relacionadas
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p2-p1=-rg(y2-y1) |
Apliquemos esta equação
a um líquido contido num recipiente aberto, como o indicado no
Figura 3. Tomemos o ponto 1 num nível qualquer, onde a pressão
é p e o ponto 2 no topo, onde o pressão é a atmosférica,
p0. Então,
p0-p=-rg(y2-y1),
p=p0+rgh
Observamos que a forma do recipiente não afeta a pressão
e que esta é a mesma em todos os pontos de mesma profundidade.
Segue-se também da equação acima que se a pressão
p0 for aumentada de uma maneira qualquer, digamos, por um pistão
agindo na superfície superior, a pressão p em qualquer profundidade
deve aumentar exatamente da mesma quantidade. Este fato foi enunciado
pelo cientista francês
Figura 4 - Princípio
da prensa hidráulica (Lei de Pascal)
Blaise Pascal (1623-1662)
em 1653 e é conhecido como Lei de Pascal, freqüentemente
enunciada da seguinte maneira: "A pressão
aplicada a um fluido contido num recipiente é transmitida sem redução
a todas as porções do fluido e as paredes do recipiente
que o contém".
Não é
um princípio independente, mas uma conseqüência necessária
das leis da Mecânica.
A lei de Pascal é ilustrado pelo operação de uma
prensa hidráulica, Figura. Um pistão
de pequena área transversal a exerce urna pequena força
f, diretamente sobre um líquido, como óleo, por exemplo.
A pressão p = f/a é transmitida através de um tubo
ligado a um cilindro maior, onde existe um pistão de maior área,
A. Como o pressão é a mesma em ambos os cilindros,
Segue-se que a prensa
hidráulica é um aparelho que multiplica forças, com
um fator igual à relação entre áreas dos dois
pistões. Cadeiras de barbeiro e de dentista, elevadores para automóveis
e freios hidráulicos, são exemplos de aparelhos que usam
o princípio da prensa hidráulica.
3. Paradoxo hidrostático
Interligando
vários recipientes de diferentes formas, Figura 5, verifica-se
que se um líquido for despejado num deles, o nível alcançado
será o mesmo em todos os outros. Antes dos princípios
da hidrostática serem completamente entendidos, isso parecia
um enigma e foi chamado de "paradoxo hidrostático".
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Figura 5 -
Paradoxo hidrostático
|
Parecia, à primeira
vista, por exemplo, que na base do vaso C deveria haver pressão maior
que na de B, de modo que o líquido seria forçado de C para
B.
A equação
p=p0+rgh,
entretanto, afirma que a pressão depende somente da profundidade
abaixo da superfície e não da forma do recipiente. Desde
que a profundidade do líquido seja a mesma em todos eles, a pressão
na base de cada um será o mesma e o sistema estará em equilíbrio.
Para se entender a situação talvez seja útil uma
explicação mais detalhada. Consideremos o vaso C, Figura
5. As forças exercidas contra o líquido pelos paredes são
indicadas por setas, e são sempre perpendiculares às paredes
do recipiente. As forças inclinadas podem ser decompostas em componentes
verticais e horizontais. O peso do líquido nas seções
indicadas por A é suportada pelas componentes verticais e, assim,
a pressão na base do recipiente deve-se apenas ao peso do líquido
contido no coluna cilíndrica B. Qualquer recipiente, independentemente
de sua forma, pode ser estudado de maneira idêntica.
4. Medidores de pressão
O tipo mais simples
de medidor de pressão é o manômetro de tubo aberto,
representado na Figura 6. Consiste de um tubo em formo de U, contendo
um liquido, uma extremidade estando à pressão p que desejamos
medir, enquanto a outra e aberta no atmosfera.
Figura 6 - Manômetro
e Barômetro
A pressão na
base da coluna da esquerda é p+rgy1
enquanto que na base da direita é p0+rgy2,
onde r é a densidade do líquido
manométrico. Como ambas as pressões referem-se ao mesmo
ponto, segue-se que
p+rgy1=p0+rgy2,
e
p-p0=rg(y2-y1)
= rgh
p é chamada
pressão absoluta e a diferença p-p0, entre ela e a
atmosférica, é chamada pressão manométrica.
Esta é proporcional à diferença de altura
das colunas líquidas.
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O barômetro
de mercúrio é um tubo longo de vidro cheio deste metal e
invertido numa cuba também contendo mercúrio. O espaço
acima da coluna contém somente vapor de mercúrio, cuja pressão,
à temperatura ambiente, é tão pequena que pode ser
desprezada. Vê-se facilmente que
p0=rg(y2-y1)=rgh
Por serem os barômetros
e manômetros de mercúrio freqüentemente usados em laboratórios,
é costume expressar a pressão atmosférica e outras
em polegadas, centímetros ou milímetros de mercúrio,
embora não sejam unidades reais de pressão. A pressão
exercida por uma coluna de um milímetro de mercúrio é
comumente chamada um Torr, em homenagem ao físico italiano Torricelli,
que foi o primeiro a estudar uma coluna barométrica de mercúrio.
Uma pressão
de 1,013 . 106 dinacm-2=1,013.105Nm-2=14,7lbin-2
é chamada de uma atmosfera(1atm).
5. Princípio de Arquimedes
O contorno irregular
da Figura 7 representa uma superfície imaginária limitando
uma porção arbitrária de um fluido em repouso. As
pequenos setas representam as forças exercidas pelo fluido circundante
sobre pequenos elementos da superfície de contorno de áreas
iguais dA. A força dF sobre cada elemento de área lhe é
normal e igual a p dA, onde p depende somente da profundidade vertical
abaixo da superfície livre, independendo da forma ou orientação
da superfície de contorno.
Estando
todo o fluido em repouso, a componente x da resultante dessas forças
de superfície é nula. A componente y, Fy, deve ser igual
ao peso do fluido no interior da superfície arbitrária,
mg, e sua linha de ação deve passar pelo centro de gravidade
desse fluido. |
Figura 7 -
Empuxo - forças exercidas no corpo pelo líquido
|
Suponhamos agora
que o fluido no interior da superfície seja removido e substituído
por um corpo sólido, tendo exatamente a mesma forma. A pressão
em cada ponto será exatamente a mesma de antes, de modo que a força
exercida sobre o corpo pelo fluido circundante mantém-se inalterada.
Isto é, o fluido exerce sobre o corpo uma força Fy, denominada
empuxo, dirigida para cima, igual ao peso mg do fluido que ocupava originalmente
o volume limitado pela supefície de contorno, e cuja linha de ação
passa pelo centro original de gravidade.
O corpo submerso, em geral, não estará em equilíbrio.
Seu peso pode ser maior ou menor que Fy e, se não for homogêneo,
seu centro de gravidade pode não se encontrar sobre a linha de
ação de Fy. Portanto, em geral, estará sob a ação
de uma força resultante, passando por seu próprio centro
de
gravidade, e de um torque; o corpo pode,então, subir ou descer
e também girar.
O fato de que um corpo imerso em fluido deve ser "empurrado para
cima" com uma força igual ao peso do fluido deslocado, foi
deduzido Arquimedes (287-212 a.C.), seguindo as mesmas de raciocínio
acima. É chamado Princípio de Arquimedes e é,
claro, uma conseqüência das leis de Newton e das propriedades
de um fluido. A posição da linha de ação da
força dirigida para cima,geralmente omitida no enunciado do princípio,
é tão importante quanto a intensidade da mesma.
O peso de um dirigível flutuando no ar
ou de um submarino a uma certa profundidade, é exatamente igual
ao do volume de ar ou água deslocado,qu é exatamente igual
ao volume do dirigível ou do submarino. Dessa maneira,
as densidaades médias do dirigível e do submarino são
iguais à da do ar e da água, respectivamente.
Um corpo cuja densidade média é menor que a de um líquido
pode flutuar parcialmente submerso na superfície livre do mesmo.
Entretanto, não desejamos apenas que o navio flutue, mas que o
faça a prumo e com estabilidade, sem virar. Isto requer, normalmente,
que a linha de ação do empuxo passe pelo centro de gravidade
do navio e, também, quando este aderna, que a torque formado por
seu peso e empuxo seja no sentido que tenda a equilibrar o navio.
Quando realizamos pesagens com uma balança analítica sensível,
deve-se fazer correção para o empuxo do ar, se a densidade
do corpo que está sendo"pesado" é muito diferente
da dos "pesos" padrões, geralmente feitos de latão.
Suponhamos, por exemplo, que um pedaço de madeira de densidade
0,4g cm-3 seja equilibrado numa balança de braços
iguais por "pesos" de latão de 20 g, cuja densidade é
8,0 g cm-3. O peso aparente de cada corpo é a diferença
entre seu peso verdadeiro e o empuxo da ar. Se rm,
rl e ra,
são as densidades da madeira, do latão e do ar, respectivamente,
e Vm e Vl os volumes da madeira e do latão,
os pesos aparentes, que são iguais, são:
rmVmg-raVmg=rlVlg-raVlg
As massas verdadeiras
da madeira e do padrão são rmVm
e rlVl. Assim,
Massa verdadeira®
rmVm = rlVl+ra(Vm-Vl)
No exemplo específico
dado,
Vm= 20/0,4
= 50cm3,
Vl= 20/8
= 2,5 cm3
ra=
0,00013 g/cm3
Então
ra(Vm-Vl)=0,0013
. 47,5 =0,062g
Conseqüentemente,
Massa verdadeira=
20,062g
6.Forças sobre barragens
A água permanece
numa altura H atrás da face vertical (montante) de uma barragem,
onde exerce uma certa força horizontal resultante, tendendo a fazê-la
escorregar ao longo de suas fundações, e também um
momento que tende a girá-la em torno o ponto O.

Figura 8.
Forças sobre uma barragem.
Desejamos calcular
essa força horizontal e seu momento.
A Figura 8 é uma vista da face da montante. A pressão a
uma altura y é
p=rg(H-y)
A pressão atmosférica
pode ser omitida, pois também atua contra a outra face da barragem.
A força sobre a faixa sombreada é
dF=pdA
=rg(H-y)
. L dy
A força total
é
O momento da força
dF em relação a um eixo passando por O é 
sendo o total dado
por

Se Y é a altura
acima de O na qual a força total F deveria ser aplicada para produzir
este torque, então
FY=1/2rgLH2
. Y = 1/6 rgLH3,
Y=1/3H
Assim, a linha de
ação da força resultante está a 1/3 da profundidade
acima de O, ou a 2/3 da profundidade abaixo da superfície da água.
7.Fluidos em movimento
O comportamento de
um fluido em movimento pode ser muito complicado, como ilustram as fotos.
Imaginemos, por exemplo, a fumaça que sobe de um cigarro aceso.
A princípio, junto ao cigarro, a fumaça sobe numa corrente
regular, mas logo depois do escoamento se torna turbulento e o fumo turbilhona
irregularmente. É difícil descrever o escoamento turbilhonar,
mesmo qualitativamente. Por isso vamos nos limitar ao escoamento não-turbulento
de um fluido "ideal", invíscido, em estado permanente.
É um escoamento em que não há dissipação
de energia mecânica. Vamos admitir, também, que o fluido
seja incompressível, o que é uma boa aproximação
para a maior parte dos escoamentos de líquidos. Num escoamento
de fluido incompressível, a densidade é constante em qualquer
ponto do fluido.
Figura 9 - Fluido
incompressível escoando
A Figura 9 mostra
um fluido escoando num tubo de área de seção reta
variável. A parte sombreada, à esquerda, representa o volume
de fluido que entra no tubo na seção A1, durante
o intervalo de tempo Dt. Se a velocidade do
fluido neste ponto for v1, o volume do fluido que entra no
tubo no intervalo Dt é
DV
= A1 v1Dt
Como estamos admitindo
que o fluido seja incompressível, um volume igual de fluido deve
sair do tubo no ponto de área da seção reta A2,
como mostra, na figura, a parte sombreada à direita. Se a velocidade
do fluido neste ponto for v2 o volume
é DV= A2v2Dt.
Como os volumes devem ser iguais, temos
A1v1Dt=A2v2Dt
A1v1=A2v2
|
 |
A grandeza Av é
a vazão volumar IV. As dimensões de Iv são
as de volume dividido por tempo. No escoamento permanente de um fluido
incompressível, a vazão volumar é sempre a mesma
em qualquer ponto do fluido.
IV=Av
= constante . Equação da continuidade
8.Equação de Bernoulli
A equação
de Bernoulli relaciona a pressão, a elevação e a
velocidade de um fluido incompressível num escoamento permanente.
É conseqüência das leis de Newton e se deduz sem dificuldade
pela conservação da energia de um segmento do fluido.

Figura 10
Seja um fluido em
movimento num tubo cuja elevação e a área da seção
reta sejam variáveis, como no esquema da Figura 10. Vamnos aplicar
o teorema da conservação da energia ao fluido que está,
inicialmente, entre os pontos 1 e 2 da Figura10 . Depois de um intervalo
de tempo Dt, o fluido se desloca no tubo e
passa a ocupar a região entre os pontos 1´e 2´. Seja
Dm=rDV a massa desta
parcela do fluido. O efeito do deslocamento do fluido durante o intervalo
de tempo Dt é o de massa Dm
ter sido elevada da altura y1 para a altura y2 e
de a velocidade ter passado de v1 para v2. A variação
de energia potencial do fluido é então
DU=Dmgy2-Dmgy1=rDVg(y2-y1)
e a variação
da energia cinética é

O fluido que est´pa
a jusante do elemento de volume (á esquerda da parte sombreada)
exerce uma força sobre o fluido deste elemento de volume dada por
F1=P1A1, com P1 a pressão
no ponto 1. O trabalho desta força é
W1=F1Dx1=P1A1Dx1=P1DV
Ao mesmo tempo, o
fluido a jusante do elemento de volume (à direita na figura) exerce
uma força F2=P2A2, dirigida para
a esquerda. O trabalho desta força é negativo, pois se opõe
ao movimento:
W2=-F2Dx2=-P2A2Dx2=-P2DV
O trabalho efetuado
por essas forças é
W=P1DV-P2DV=(P1-P2)DV
Ora, a conservação
da energia mecânica nos dá
WTOTAL=DU-DK
e então

Se dividirmos a expressão
por DV, vem

Reunindo num membro
todas as grandezas com o índice 1 e no outro as grandezas com o
índice 2, esta equação fica

Este resultado pode
ser reescrito como

o que mostra que a
combinação dos valores das grandezas do primeiro membro
é constante em qualquer ponto do tubo. A equação
acima é dada como equação de Bernoulli do escoamento
permanente de fluido invíscido e incompressível.
Uma aplicação
particular da equação de Bernoulli se faz a um fluido em
repouso. Neste caso, v1=v2=0, e obtemos
P1-P2=rg(y2-y1)
= rgh
em que h=y2-y1
é a diferença de altura entre os pontos 2 e 1.

Figura 11
Na Figura 11, a água
escoa através de um tubo horizontal com uma seção
estrangulada. A altura das duas seções é a mesma,
y1=y2. A equação de Bernoulli assume
a forma

Quando se move e entra
na região estrangulada, área A se torna menor e a velocidade
v deve aumentar a fim de o produto Av permanecer constante. Porém,
como P+rv2/2 permanece constante,
se a velocidade v aumenta a pressão P deve diminuir. Então,
a pressão na parte estrangulada fica reduzida.
9. Exemplos
Exemplo
1: Uma represa
retangular, com 30m de largura, suporta uma massa de água com a
altura de 25 m. Calcular a força horizontal total que age sobre
a represa.
Como a pressão
varia com a profundidade, não podemos simplesmente multiplicar
a pressão pela área da represa para calcular a força
da água. Vamos analisar a força exxercida sobre uma faixa
hrizontal da represa de comprimento L=30m e altura dh e, portanto, com
a área dA =L dh à profundidade h. A integração
do elemento força sobre este elemento de área, de h=0 até
h=25m, dá força sda água sobre a represa. A pressão
da água na profundidade h é patm + rgh.
Podemos omitir no cálculo a pressão atmosférica,
pois ela atua, igualmente, numa face e na outra da represa.
1. Exprimir o elemento
de força dF sobre o elemento de largura L e altura dh em termos
de pressão rgh :
dF=P dA=rghL
dh
2.
Integrar entre
h=0 e h=H

3.Entrar com os valores
numéricos dados para ter o resultado final

OBS: Como a força
sobre um elemento da represa é proporcional ao quadrado da profundidade
da água, a represa é projetada de modo a se mais espessa
na base do que o topo.
Exemplo
2: O pistão
grande de uma prensa hidráulica tem um raio de 20cm. Que força
deve ser aplicada ao pistão pequeno, de 2cm de raio, para que no
maior se possa sustentar ou elevar um carro de 1500kg?
A pressão P
vezes a área A2 do pistão maior é igual
ao peso mg do carro. A força F1 que deve ser exercida
sobre o pistão menor é igual a essa pressão vezes
a área A1.
1. A força
F1 é o produto da pressão P pela área
A1: F1=P A1
2. O produto da pressão
P pela área A2 é igual ao peso do carro:

3.Com o valor encontrado
de P calcula-se F1:

Exemplo
3: A densidade
da cortiça é 200Kg/m3. Calcular a fração
do volume de uma rolha de cortiça imesa quando a rolha flutua na
água.
Sejam V o volume da
rolha e V´o volume imerso quando arolha está flutuando. O
peso da rolha érCVg e o empuxo
da água é rWV´g
1. Como a água
está flutuando em equilíbrio, o empuxo é igual ao
peso:

2. Resolvendo em V´/
V:

OBS: Apenas um quinto
da rolha fica mergulhado na água. O resultado não depende
da forma da rolha.
Exemplo
4: A água
é bombeada continuamente para fora de um porão inundado,
a uma velocidade de 5m/s, através de uma mangueira uniforme de
raio 1,0 cm. A mangueira passa por uma janela 3,0m acima do nível
da água. Qual a potência da bomba?

Exemplo
5: Se a velocidade
do escoamento, passando por debaixo de uma asa, é 110m/s, que velocidade
do escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão
de 900Pa entre as superfícies de cima e de baixo? Considere a densidade
do ar r=1,30 x 10-3 g/cm3.

Exemplo
6: Um franco
atirador dispara um rifle em um tanque de gasolina, abrindo um buraco
a 50m abaixo da superfície da gasolina. O tanque é selado
e se encontra sob uma pressão absoluta de 3,0 atm. A densidade
da gasolina é 660kg/m3. A que velocidade v a
gasolina começa a escapar pelo furo?
|