Os termos "hidrostática" e "hidrodinâmica" são usados para o estudo dos fluidos em repouso e em movimento, respectivamente. O ramo especial da Hidrodinâmica relativo ao escoamento dos gases e do ar em particular é chamado "Aerodinâmica".
Fluido é uma substância que pode escoar e, assim, o termo inclui líquidos e gases que diferem notavelmente em suas compressibilidades; um gás é facilmente comprimido enquanto um líquido é praticamente incompressível. A pequena variação de volume de um líquido sob pressão pode ser omitida no presente estudo.

1. Densidade

A densidade de um material homogêneo é definida como sua massa por unidade de volume. As unidades de densidade nos quatro sistemas são: quilograma por metro cúbico (1 kg m^-3), grama por centímetro cúbico (1 g cm^-3), slug por pé cúbico (1 slugft^-3), e a unidade técnica de massa por metro cúbico (1 utm m^-3). Representaremos a densidade pela letra grega r(rô):

Por exemplo, a massa de 1 litro (1.000 cm³) de água é 1.000g; sua densidade, portanto, é1.000/1.000 = 1 g cm^-3. Valores típicos de densidade à temperatura ambiente são dados na Tabela.
Gravidade específica de um material é a relação de sua densidade para a da água e, consequentemente é uma quantidade adimensional. "Gravidade específica" é um termo inadequado pois nada tem a ver com gravidade. "Densidade relativa" descreve o conceito mais precisamente.

2. Pressão em um fluido
É um fato conhecido que a pressão atmosférica diminui com a altitude e que num lago ou no mar, aumenta com a profundidade.
Generalizamos o conceito de pressão e a definimos num ponta qualquer como a relação entre a força normal dF exercida sobre uma área elementar dA, incluindo o ponto, e esta área:

Se a pressão for a mesma em todos os pontos de superfície plano finita de área A, estas equações reduzem-se à equação:

Figura 1 - pressão em uma superfície

Figura 2 - as várias pressões exercidas em um bloco

Determinemos a relação geral entre pressão p em um ponto qualquer de um fluido e a elevação y do ponto. Se o fluido estiver em equilíbrio, cada elemento de volume também estará. Consideremos um elemento com a forma de uma lâmina fina, de espessura dy e face de área A.

Se r é a densidade do fluido, a massa do elemento será rA dy e seu peso, dw, será rgAdy.
A força exercida sobre esse elemento pelo fluido que o envolve é, em qualquer parte, normal à superfície. Por simetria, a resultante horizontal na borda é nula. A força para cima, agindo na sua face inferior, é pA, e a para baixo, agindo na face superior, (p+dp)A. Como o volume elementar está em equilíbrio,

pA - (p+dp)A - rgAdy=0,

onde

Como r e g são quantidades positiva, segue-se que para um dy positivo (acréscimo de elevação) o correspondente dp será negativo (decréscimo de pressão). Se p₁ e p₂ são as pressões nas elevações y₁ e y₂ acima de um nível de referência escolhido, a integração da equação acima, quando r e g são constantes, dá:

Figura 3 - Alturas relacionadas

p2-p1=-rg(y2-y1)

Apliquemos esta equação a um líquido contido num recipiente aberto, como o indicado no Figura 3. Tomemos o ponto 1 num nível qualquer, onde a pressão é p e o ponto 2 no topo, onde o pressão é a atmosférica, p₀. Então,

p₀-p=-rg(y₂-y₁),

p=p₀+rgh

Observamos que a forma do recipiente não afeta a pressão e que esta é a mesma em todos os pontos de mesma profundidade. Segue-se também da equação acima que se a pressão p0 for aumentada de uma maneira qualquer, digamos, por um pistão agindo na superfície superior, a pressão p em qualquer profundidade deve aumentar exatamente da mesma quantidade. Este fato foi enunciado pelo cientista francês

Figura 4 - Princípio da prensa hidráulica (Lei de Pascal)

Blaise Pascal (1623-1662) em 1653 e é conhecido como Lei de Pascal, freqüentemente enunciada da seguinte maneira: "A pressão aplicada a um fluido contido num recipiente é transmitida sem redução a todas as porções do fluido e as paredes do recipiente que o contém". Não é um princípio independente, mas uma conseqüência necessária das leis da Mecânica.

A lei de Pascal é ilustrado pelo operação de uma prensa hidráulica, Figura. Um pistão de pequena área transversal a exerce urna pequena força f, diretamente sobre um líquido, como óleo, por exemplo. A pressão p = f/a é transmitida através de um tubo ligado a um cilindro maior, onde existe um pistão de maior área, A. Como o pressão é a mesma em ambos os cilindros,

Segue-se que a prensa hidráulica é um aparelho que multiplica forças, com um fator igual à relação entre áreas dos dois pistões. Cadeiras de barbeiro e de dentista, elevadores para automóveis e freios hidráulicos, são exemplos de aparelhos que usam o princípio da prensa hidráulica.

3. Paradoxo hidrostático

Interligando vários recipientes de diferentes formas, Figura 5, verifica-se que se um líquido for despejado num deles, o nível alcançado será o mesmo em todos os outros. Antes dos princípios da hidrostática serem completamente entendidos, isso parecia um enigma e foi chamado de "paradoxo hidrostático".

Figura 5 - Paradoxo hidrostático

A equação p=p₀+rgh, entretanto, afirma que a pressão depende somente da profundidade abaixo da superfície e não da forma do recipiente. Desde que a profundidade do líquido seja a mesma em todos eles, a pressão na base de cada um será o mesma e o sistema estará em equilíbrio.
Para se entender a situação talvez seja útil uma explicação mais detalhada. Consideremos o vaso C, Figura 5. As forças exercidas contra o líquido pelos paredes são indicadas por setas, e são sempre perpendiculares às paredes do recipiente. As forças inclinadas podem ser decompostas em componentes verticais e horizontais. O peso do líquido nas seções indicadas por A é suportada pelas componentes verticais e, assim, a pressão na base do recipiente deve-se apenas ao peso do líquido contido no coluna cilíndrica B. Qualquer recipiente, independentemente de sua forma, pode ser estudado de maneira idêntica.

4. Medidores de pressão

O tipo mais simples de medidor de pressão é o manômetro de tubo aberto, representado na Figura 6. Consiste de um tubo em formo de U, contendo um liquido, uma extremidade estando à pressão p que desejamos medir, enquanto a outra e aberta no atmosfera.

Figura 6 - Manômetro e Barômetro

A pressão na base da coluna da esquerda é p+rgy1 enquanto que na base da direita é p0+rgy₂, onde r é a densidade do líquido manométrico. Como ambas as pressões referem-se ao mesmo ponto, segue-se que

p+rgy1=p0+rgy2, e p-p0=rg(y2-y1) = rgh p é chamada pressão absoluta e a diferença p-p0, entre ela e a atmosférica, é chamada pressão manométrica. Esta é proporcional à diferença de altura das colunas líquidas.

O barômetro de mercúrio é um tubo longo de vidro cheio deste metal e invertido numa cuba também contendo mercúrio. O espaço acima da coluna contém somente vapor de mercúrio, cuja pressão, à temperatura ambiente, é tão pequena que pode ser desprezada. Vê-se facilmente que

p₀=rg(y₂-y₁)=rgh

Por serem os barômetros e manômetros de mercúrio freqüentemente usados em laboratórios, é costume expressar a pressão atmosférica e outras em polegadas, centímetros ou milímetros de mercúrio, embora não sejam unidades reais de pressão. A pressão exercida por uma coluna de um milímetro de mercúrio é comumente chamada um Torr, em homenagem ao físico italiano Torricelli, que foi o primeiro a estudar uma coluna barométrica de mercúrio.

Uma pressão de 1,013 . 10⁶ dinacm^-2=1,013.10⁵Nm^-2=14,7lbin^-2 é chamada de uma atmosfera(1atm).

5. Princípio de Arquimedes

O contorno irregular da Figura 7 representa uma superfície imaginária limitando uma porção arbitrária de um fluido em repouso. As pequenos setas representam as forças exercidas pelo fluido circundante sobre pequenos elementos da superfície de contorno de áreas iguais dA. A força dF sobre cada elemento de área lhe é normal e igual a p dA, onde p depende somente da profundidade vertical abaixo da superfície livre, independendo da forma ou orientação da superfície de contorno.

Estando todo o fluido em repouso, a componente x da resultante dessas forças de superfície é nula. A componente y, Fy, deve ser igual ao peso do fluido no interior da superfície arbitrária, mg, e sua linha de ação deve passar pelo centro de gravidade desse fluido.

Figura 7 - Empuxo - forças exercidas no corpo pelo líquido

Suponhamos agora que o fluido no interior da superfície seja removido e substituído por um corpo sólido, tendo exatamente a mesma forma. A pressão em cada ponto será exatamente a mesma de antes, de modo que a força exercida sobre o corpo pelo fluido circundante mantém-se inalterada. Isto é, o fluido exerce sobre o corpo uma força Fy, denominada empuxo, dirigida para cima, igual ao peso mg do fluido que ocupava originalmente o volume limitado pela supefície de contorno, e cuja linha de ação passa pelo centro original de gravidade.
O corpo submerso, em geral, não estará em equilíbrio. Seu peso pode ser maior ou menor que Fy e, se não for homogêneo, seu centro de gravidade pode não se encontrar sobre a linha de ação de Fy. Portanto, em geral, estará sob a ação de uma força resultante, passando por seu próprio centro de
gravidade, e de um torque; o corpo pode,então, subir ou descer e também girar.
O fato de que um corpo imerso em fluido deve ser "empurrado para cima" com uma força igual ao peso do fluido deslocado, foi deduzido Arquimedes (287-212 a.C.), seguindo as mesmas de raciocínio acima. É chamado Princípio de Arquimedes e é, claro, uma conseqüência das leis de Newton e das propriedades de um fluido. A posição da linha de ação da força dirigida para cima,geralmente omitida no enunciado do princípio, é tão importante quanto a intensidade da mesma.
O peso de um dirigível flutuando no ar ou de um submarino a uma certa profundidade, é exatamente igual ao do volume de ar ou água deslocado,qu é exatamente igual ao volume do dirigível ou do submarino. Dessa maneira, as densidaades médias do dirigível e do submarino são iguais à da do ar e da água, respectivamente.
Um corpo cuja densidade média é menor que a de um líquido pode flutuar parcialmente submerso na superfície livre do mesmo. Entretanto, não desejamos apenas que o navio flutue, mas que o faça a prumo e com estabilidade, sem virar. Isto requer, normalmente, que a linha de ação do empuxo passe pelo centro de gravidade do navio e, também, quando este aderna, que a torque formado por seu peso e empuxo seja no sentido que tenda a equilibrar o navio.
Quando realizamos pesagens com uma balança analítica sensível, deve-se fazer correção para o empuxo do ar, se a densidade do corpo que está sendo"pesado" é muito diferente da dos "pesos" padrões, geralmente feitos de latão. Suponhamos, por exemplo, que um pedaço de madeira de densidade 0,4g cm^-3 seja equilibrado numa balança de braços iguais por "pesos" de latão de 20 g, cuja densidade é 8,0 g cm^-3. O peso aparente de cada corpo é a diferença entre seu peso verdadeiro e o empuxo da ar. Se r_m, r_l e r_a, são as densidades da madeira, do latão e do ar, respectivamente, e V_m e V_l os volumes da madeira e do latão, os pesos aparentes, que são iguais, são:

r_mV_mg-r_aV_mg=r_lV_lg-r_aVlg

As massas verdadeiras da madeira e do padrão são r_mV_m e r_lV_l. Assim,

Massa verdadeira® r_mV_{m =} r_lV_l+r_a(V_m-V_l)

No exemplo específico dado,

V_m= 20/0,4 = 50cm³,

Vl= 20/8 = 2,5 cm³

r_a= 0,00013 g/cm³

Então

r_a(V_m-V_l)=0,0013 . 47,5 =0,062g

Conseqüentemente,

Massa verdadeira= 20,062g

6.Forças sobre barragens

A água permanece numa altura H atrás da face vertical (montante) de uma barragem, onde exerce uma certa força horizontal resultante, tendendo a fazê-la escorregar ao longo de suas fundações, e também um momento que tende a girá-la em torno o ponto O.

Figura 8. Forças sobre uma barragem.

Desejamos calcular essa força horizontal e seu momento. A Figura 8 é uma vista da face da montante. A pressão a uma altura y é

p=rg(H-y)

A pressão atmosférica pode ser omitida, pois também atua contra a outra face da barragem. A força sobre a faixa sombreada é

dF=pdA

=rg(H-y) . L dy

A força total é

O momento da força dF em relação a um eixo passando por O é

sendo o total dado por

Se Y é a altura acima de O na qual a força total F deveria ser aplicada para produzir este torque, então

FY=1/2rgLH² . Y = 1/6 rgLH³,

Y=1/3H

Assim, a linha de ação da força resultante está a 1/3 da profundidade acima de O, ou a 2/3 da profundidade abaixo da superfície da água.

7.Fluidos em movimento

O comportamento de um fluido em movimento pode ser muito complicado, como ilustram as fotos. Imaginemos, por exemplo, a fumaça que sobe de um cigarro aceso. A princípio, junto ao cigarro, a fumaça sobe numa corrente regular, mas logo depois do escoamento se torna turbulento e o fumo turbilhona irregularmente. É difícil descrever o escoamento turbilhonar, mesmo qualitativamente. Por isso vamos nos limitar ao escoamento não-turbulento de um fluido "ideal", invíscido, em estado permanente. É um escoamento em que não há dissipação de energia mecânica. Vamos admitir, também, que o fluido seja incompressível, o que é uma boa aproximação para a maior parte dos escoamentos de líquidos. Num escoamento de fluido incompressível, a densidade é constante em qualquer ponto do fluido.

Figura 9 - Fluido incompressível escoando

A Figura 9 mostra um fluido escoando num tubo de área de seção reta variável. A parte sombreada, à esquerda, representa o volume de fluido que entra no tubo na seção A₁, durante o intervalo de tempo Dt. Se a velocidade do fluido neste ponto for v₁, o volume do fluido que entra no tubo no intervalo Dt é

DV = A₁ v₁Dt

Como estamos admitindo que o fluido seja incompressível, um volume igual de fluido deve sair do tubo no ponto de área da seção reta A₂, como mostra, na figura, a parte sombreada à direita. Se a velocidade do fluido neste ponto for v₂ o volume é DV= A₂v₂Dt. Como os volumes devem ser iguais, temos

A1v1Dt=A2v2Dt A1v1=A2v2

A grandeza Av é a vazão volumar I_V. As dimensões de Iv são as de volume dividido por tempo. No escoamento permanente de um fluido incompressível, a vazão volumar é sempre a mesma em qualquer ponto do fluido.

I_V=Av = constante . Equação da continuidade

8.Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a elevação e a velocidade de um fluido incompressível num escoamento permanente. É conseqüência das leis de Newton e se deduz sem dificuldade pela conservação da energia de um segmento do fluido.

Figura 10

Seja um fluido em movimento num tubo cuja elevação e a área da seção reta sejam variáveis, como no esquema da Figura 10. Vamnos aplicar o teorema da conservação da energia ao fluido que está, inicialmente, entre os pontos 1 e 2 da Figura10 . Depois de um intervalo de tempo Dt, o fluido se desloca no tubo e passa a ocupar a região entre os pontos 1´e 2´. Seja Dm=rDV a massa desta parcela do fluido. O efeito do deslocamento do fluido durante o intervalo de tempo Dt é o de massa Dm ter sido elevada da altura y₁ para a altura y₂ e de a velocidade ter passado de v₁ para v₂. A variação de energia potencial do fluido é então

DU=Dmgy₂-Dmgy₁=rDVg(y₂-y₁)

e a variação da energia cinética é

O fluido que est´pa a jusante do elemento de volume (á esquerda da parte sombreada) exerce uma força sobre o fluido deste elemento de volume dada por F₁=P₁A₁, com P₁ a pressão no ponto 1. O trabalho desta força é

W₁=F₁Dx₁=P₁A₁Dx₁=P₁DV

Ao mesmo tempo, o fluido a jusante do elemento de volume (à direita na figura) exerce uma força F₂=P₂A₂, dirigida para a esquerda. O trabalho desta força é negativo, pois se opõe ao movimento:

W₂=-F₂Dx₂=-P₂A₂Dx₂=-P₂DV

O trabalho efetuado por essas forças é

W=P₁DV-P₂DV=(P_1-P₂₎DV

Ora, a conservação da energia mecânica nos dá

W_TOTAL=DU-DK

e então

Se dividirmos a expressão por DV, vem

Reunindo num membro todas as grandezas com o índice 1 e no outro as grandezas com o índice 2, esta equação fica

Este resultado pode ser reescrito como

o que mostra que a combinação dos valores das grandezas do primeiro membro é constante em qualquer ponto do tubo. A equação acima é dada como equação de Bernoulli do escoamento permanente de fluido invíscido e incompressível.

Uma aplicação particular da equação de Bernoulli se faz a um fluido em repouso. Neste caso, v1=v2=0, e obtemos

P₁-P₂=rg(y2-y1) = rgh

em que h=y₂-y₁ é a diferença de altura entre os pontos 2 e 1.

Figura 11

Na Figura 11, a água escoa através de um tubo horizontal com uma seção estrangulada. A altura das duas seções é a mesma, y₁=y₂. A equação de Bernoulli assume a forma

Quando se move e entra na região estrangulada, área A se torna menor e a velocidade v deve aumentar a fim de o produto Av permanecer constante. Porém, como P+rv²/2 permanece constante, se a velocidade v aumenta a pressão P deve diminuir. Então, a pressão na parte estrangulada fica reduzida.

9. Exemplos

Exemplo 1: Uma represa retangular, com 30m de largura, suporta uma massa de água com a altura de 25 m. Calcular a força horizontal total que age sobre a represa.

Como a pressão varia com a profundidade, não podemos simplesmente multiplicar a pressão pela área da represa para calcular a força da água. Vamos analisar a força exxercida sobre uma faixa hrizontal da represa de comprimento L=30m e altura dh e, portanto, com a área dA =L dh à profundidade h. A integração do elemento força sobre este elemento de área, de h=0 até h=25m, dá força sda água sobre a represa. A pressão da água na profundidade h é p_atm + rgh. Podemos omitir no cálculo a pressão atmosférica, pois ela atua, igualmente, numa face e na outra da represa.

1. Exprimir o elemento de força dF sobre o elemento de largura L e altura dh em termos de pressão rgh :

dF=P dA=rghL dh

2. Integrar entre h=0 e h=H

3.Entrar com os valores numéricos dados para ter o resultado final

OBS: Como a força sobre um elemento da represa é proporcional ao quadrado da profundidade da água, a represa é projetada de modo a se mais espessa na base do que o topo.

Exemplo 2: O pistão grande de uma prensa hidráulica tem um raio de 20cm. Que força deve ser aplicada ao pistão pequeno, de 2cm de raio, para que no maior se possa sustentar ou elevar um carro de 1500kg?

A pressão P vezes a área A₂ do pistão maior é igual ao peso mg do carro. A força F₁ que deve ser exercida sobre o pistão menor é igual a essa pressão vezes a área A₁.

1. A força F₁ é o produto da pressão P pela área A₁: F₁=P A₁

2. O produto da pressão P pela área A₂ é igual ao peso do carro:

3.Com o valor encontrado de P calcula-se F₁:

Exemplo 3: A densidade da cortiça é 200Kg/m³. Calcular a fração do volume de uma rolha de cortiça imesa quando a rolha flutua na água.

Sejam V o volume da rolha e V´o volume imerso quando arolha está flutuando. O peso da rolha ér_CVg e o empuxo da água é r_WV´g

1. Como a água está flutuando em equilíbrio, o empuxo é igual ao peso:

2. Resolvendo em V´/ V:

OBS: Apenas um quinto da rolha fica mergulhado na água. O resultado não depende da forma da rolha.

Exemplo 4: A água é bombeada continuamente para fora de um porão inundado, a uma velocidade de 5m/s, através de uma mangueira uniforme de raio 1,0 cm. A mangueira passa por uma janela 3,0m acima do nível da água. Qual a potência da bomba?

Exemplo 5: Se a velocidade do escoamento, passando por debaixo de uma asa, é 110m/s, que velocidade do escoamento na parte de cima criará uma diferença de pressão de 900Pa entre as superfícies de cima e de baixo? Considere a densidade do ar r=1,30 x 10^-3 g/cm³.

Exemplo 6: Um franco atirador dispara um rifle em um tanque de gasolina, abrindo um buraco a 50m abaixo da superfície da gasolina. O tanque é selado e se encontra sob uma pressão absoluta de 3,0 atm. A densidade da gasolina é 660kg/m³. A que velocidade v a gasolina começa a escapar pelo furo?