Estamos cercados de oscilações - movimentos que se repetem. Temos lustres oscilantes, barcos balançando no cais e o movimento dos pistões nos motores dos carros. Existem cordas vibrantes nos violões, tambores, sinos, diafragmas nos telefones e auto falantes. Menos evidentes são as oscilações das moléculas do ar que transmitem a sensação de som, dos átomos de um sólido que dão a sensação de temperatura e dos elétrons nas antenas dos transmissores de rádio e televisão.

O movimento matemático que descreve as oscilações não se aplica apenas a objetos materiais, como cordas de violino e elétrons. É usado também no estudo das ondas eletromagnéticas (luz, ondas de rádio, raios x, raios gama, microondas)

Oscilações no mundo real são em geral amortecidas, isto é, o movimento se reduz gradualmente, transformando energia mecânica em energia térmica, pela ação das forças de atrito.

 

1-Movimento Harmônico simples

Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado movimento periódico ou movimento harmônico.
Uma espécie comum, e muito importante, de movimento oscilatório é o movimento harmônico simples; por exemplo, o movimento de um corpo ligado a uma mola. No equilíbrio,a mola não exerce forças sobre o corpo (Figura 3.4)

Quando o corpo se afasta da distância x em relação à posição de equilíbrio, a mola exerce sobre ele uma força -k x, conforme a Lei de Hooke:

Fx= -k x

Nesta fórmula, k é a constante da força, uma medida da rigidez da mola. O sinal negativo mostra que a força é restauradora, isto é, se opõe ao efeito do deslocamento. A combinação da Lei de Hooke com a segunda Lei de Newton nos dá:

A aceleração é proporcional ao deslocamento e tem sentido oposto ao deslocamento.

O intervalo de tempo necessário para o corpo completar uma oscilação em torno da posição de equilíbrio é o período T do movimento. O inverso do período é a frequência (f), que é o número de oscilações por unidade de tempo.

O applet abaixo mostra como se pode registrar, experimentalmente, a variação de x em função do tempo t, no caso de um corpo preso a uma mola.

Clique para ver o applet sobre oscilações

A equação geral da curva é

em que A, , são constantes. O deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio é a amplitude A. O argumento da função cosseno, t+, é a fase do movimento, e a constante depende do instante inicial t=0. Quando se tem um sistema só oscilante, podemos escolher t=0 de modo que =0.

Quando temos dois sistemas oscilantes, com a mesma amplitude e a mesma frequência, porém com fases diferentes, podemos fazer =0 em t=0. Para um deles, mas não para o outro. As equações dos movimentos dos 2 sistemas são então:

Se a diferença de fase for 0 ou múltiplo inteiro de , tem-se x2=x1 e os sistemas estão em fase.

Derivando a função da elongação(x) em relação a t, encontramos:

Derivando a velocidade(v) em relação ao tempo, nos dá a aceleração:

ou

Comparando esta equação () com , veremos que é solução de se

A amplitude A e a constante de fase podem ser determinadas pela posição inicial x0 e pela velocidade inicial v0 do sistema. Fazendo t=0 na equação , obtemos:

Da mesma forma, com t=0 na equação da velocidade , obtemos:

O período T é o intervalo de tempo em que os valores de x se repetem então:


A função cosseno repete o seu valor quando a fase se altera de .

A constante é a frequência angular, com unidade de radiano por segundo e as dimensões de inverso de tempo:

A frequência é o inverso do período, uma vez que , a frequência e o período de um corpo oscila preso a uma certa mola elástica:

A frequência da oscilação aumenta com o aumento de k e diminui com o aumento da massa m, isto é, com o aumento da inércia do corpo.

A frequência e o período de um movimento harmônico simples não dependem da amplitude.

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2-Energia no movimento harmônico simples

Quando um corpo efetua movimento harmônico simples, as energias potencial e cinética variam com o tempo. A soma destas 2 energias, a energia total do sistema em movimento, E=U+K, é constante. Seja um corpo a uma distância x da posição de equilíbrio, sob a ação de uma força restauradora -k x. A energia potencial deste sistema é:

No caso do movimento harmônico simples:

A energia cinética do sistema é:

No caso do MHS, . Portanto,

como , então:

A energia total do sistema é a soma entre a energia potencial e a cinética:

A energia total no MHS é proporcional ao quadrado da amplitude.

Quando o corpo está no seu deslocamento máximo, a energia total do sistema é a energia potencial. À medida que o corpo se desloca para a posição de equilíbrio, a energia potencial diminui e a energia cinética aumenta. Na posição de equilíbrio, a energia cinética é máxima e a energia potencial é nula. Nessa posição, a energia total é exclusivamente cinética.

Gráfico 3.6.Gráfico de energias

Na Figura 3.7. está o gráfico da energia potencial U em função de x. A energia total é constante e aparece no gráfico como uma reta horizontal. Esta reta intercepta a curva da energia potencial em x=A e em x=-A, que são pontos de reversão. Nestes pontos, o corpo oscilante inverte o sentido da oscilação e passa a oscilar no sentido do ponto de equilíbrio.


Gráfico 3.7.

Movimento geral nas vizinhanças do equilíbrio

O MHS é importante, pois é o movimento que se estabelece quando uma partícula é ligeiramente deslocada da posição de equílibrio estável. A Figura 3.7. é a do gráfico da energia potencial U em função dex, no caso de uma força que tem uma posição de equilíbrio estável e outra de equilíbrio instável. O máximo em x2 corresponde a uma posição de equilíbrio instável e o mínimo em x1 a um aposição de equilíbrio estável.
A equação geral da parábola com um mínimo no ponto x1 é U=A+B(x-x1)2 em que A e B são constantes. A força está relacionada com a função energia potencial pela equação Fx=-dU/dx. Então,

Se fizermos 2B=k, a equação se reduz a

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3-Pêndulo Simples

Um pêndulo simples é constituído por um cordel de comprimento L que sustenta, pendurado, um corpo pesado de massa m. Quando o corpo é solto fazendo um ângulo inicial 0 com a vertical, o pêndulo oscila com um certo período T.



As forças sobre o peso do pêndulo são o peso m e a tensão na corda . No ângulo com a vertical, o peso tem a componente mgcos na direção do cordel e mgsentangencial ao arco de círculo, no sentido dos decrescentes. Seja s o comprimento do arco medido a partir do ponto mais baixo da trajetória. Então:

onde está em radianos.

A componente tangencial da 2a Lei de Newton dá:


ou

No caso de ângulos pequenos, sen=, então

O movimento de um pêndulo, quando os deslocamentos angulares forem pequenos, é harmônico simples.

A equação acima pode ser escrita na forma

em que

O período sendo

substituindo:

Clique para ver applet sobre o pêndulo

 

4-O pêndulo físico considerando o estudo do torque

Um corpo rígido suspenso por um ponto que não coincide com o seu centro de massa irá oscilar quando deslocado da posição de equilíbrio. O sistema é um pêndulo físico. Seja um corpo material plano suspenso por um ponto à distância D do centro de massa e ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio por um ângulo .

Figura 3.9. Pêndulo Físico

O torque em relação ao ponto de suspensão tem o módulo MGDsen e tende a provocar a diminuição de . A Segunda Lei de Newton aplicada à rotação nos dá:

Em que é a acaeleração angular e I o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. Enntrando com a resultante dos torques - MgDsen, temos:

Se o deslocamento angular for pequeno, vale a aproximação sen=, portanto o movimento é harmônico simples. A equação fica:

em que . O período é então:

No caso de um pêndulo simples de comprimento L, o momento de inércia é I=ML2 e D=L. Então a equação fica

Clique para ver applet de pêndulo tipo mola

 

5-Oscilações amortecidas

As oscilações de um pêndulo ou de mola elástica terminam ao fim de um certo tempo, pois há dissipação de energia mecânica pelas forças de atrito. O movimento oscilatório, nessas circunstâncias, se diz amortecido. Se o amortecimento for pequeno, o sistema oscila com uma amplitude que diminui lentamente com o tempo. A amplitude e a energia, que é proporcional ao quadrado da amplitude, diminuem por uma porcentagem constante num certo intervalo de tempo.

Clique para ver applet sobre oscilações forçadas

6- Resumo

7-Exercícios resolvidos

8-Exercícios

 

9-Bibliografia

9.1.Física - volume 1
Paul Tipler

9.2.Física - volume 1
Sears Zemansky

9.3.Um curso de Física Básica
Moises Nussenveirg