em que A,
,
são constantes.
O deslocamento máximo em relação à posição
de equilíbrio é a amplitude A. O argumento da função
cosseno,
t+
,
é a fase do movimento, e a constante depende do instante inicial
t=0. Quando se tem um sistema só oscilante, podemos escolher
t=0 de modo que
=0.
Quando temos dois
sistemas oscilantes, com a mesma amplitude e a mesma frequência,
porém com fases diferentes, podemos fazer
=0
em t=0. Para um deles, mas não para o outro. As equações
dos movimentos dos 2 sistemas são então:
Se a diferença
de fase
for 0 ou múltiplo
inteiro de
, tem-se x2=x1
e os sistemas estão em fase.
Derivando a função
da elongação(x) em relação a t, encontramos:
Derivando a velocidade(v)
em relação ao tempo, nos dá a aceleração:
ou
Comparando esta
equação (
) com
,
veremos que
é solução
de
se
A amplitude A e
a constante de fase
podem
ser determinadas pela posição inicial x0 e
pela velocidade inicial v0 do sistema. Fazendo t=0 na equação
,
obtemos:

Da mesma forma,
com t=0 na equação da velocidade
,
obtemos:

O período
T é o intervalo de tempo em que os valores de x se repetem então:

A função
cosseno repete o seu valor quando a fase se altera de
.
A constante
é a frequência angular, com unidade de radiano por segundo
e as dimensões de inverso de tempo:
A frequência
é o inverso do período, uma vez que
, a frequência
e o período de um corpo oscila preso a uma certa mola elástica:
A frequência
da oscilação aumenta com o aumento de k e diminui com
o aumento da massa m, isto é, com o aumento da inércia
do corpo.
A frequência
e o período de um movimento harmônico simples não
dependem da amplitude.
Esta
propriedade do movimento harmônico simples tem diversas consequências
interessantes. Num plano, por exemplo, quando uma tecla é acionada,
a altura da nota (que depende da frequência) não varia
com a força do toque(que altera a amplitude das cordas).
Clique
para ver applet sobre movimento harmônico simples
2-Energia
no movimento harmônico simples
Quando um corpo
efetua movimento harmônico simples, as energias potencial e cinética
variam com o tempo. A soma destas 2 energias, a energia total do sistema
em movimento, E=U+K, é constante. Seja um corpo a uma distância
x da posição de equilíbrio, sob a ação
de uma força restauradora -k x. A energia potencial deste
sistema é:
No caso do movimento
harmônico simples:
A energia cinética
do sistema é:
No caso do MHS,
. Portanto,
como
,
então:
A energia total
do sistema é a soma entre a energia potencial e a cinética:

A energia total
no MHS é proporcional ao quadrado da amplitude.
Quando o corpo está
no seu deslocamento máximo, a energia total do sistema é
a energia potencial. À medida que o corpo se desloca para a posição
de equilíbrio, a energia potencial diminui e a energia cinética
aumenta. Na posição de equilíbrio, a energia cinética
é máxima e a energia potencial é nula. Nessa posição,
a energia total é exclusivamente cinética.

Gráfico 3.6.Gráfico de energias
Na Figura 3.7. está
o gráfico da energia potencial U em função
de x. A energia total é constante e aparece no gráfico
como uma reta horizontal. Esta reta intercepta a curva da energia potencial
em x=A e em x=-A, que são pontos de reversão.
Nestes pontos, o corpo oscilante inverte o sentido da oscilação
e passa a oscilar no sentido do ponto de equilíbrio.

Gráfico 3.7.
Movimento geral
nas vizinhanças do equilíbrio
O MHS é importante,
pois é o movimento que se estabelece quando uma partícula
é ligeiramente deslocada da posição de equílibrio
estável. A Figura 3.7. é a do gráfico da energia
potencial U em função dex, no caso de uma força
que tem uma posição de equilíbrio estável
e outra de equilíbrio instável. O máximo em x2
corresponde a uma posição de equilíbrio instável
e o mínimo em x1 a um aposição de equilíbrio
estável.
A equação geral da parábola com um mínimo
no ponto x1 é U=A+B(x-x1)2 em
que A e B são constantes. A força está relacionada
com a função energia potencial pela equação
Fx=-dU/dx. Então,
Se fizermos 2B=k,
a equação se reduz a
A
força é proporcional ao deslocamento e tem a direção
oposta à oeste, portanto MHS.
|
Clique
para ver applet de força elástica e MHS

3-Pêndulo
Simples
Um pêndulo
simples é constituído por um cordel de comprimento L que
sustenta, pendurado, um corpo pesado de massa m. Quando o corpo é
solto fazendo um ângulo inicial
0
com a vertical, o pêndulo oscila com um certo período T.

As forças sobre o peso do pêndulo são o peso m
e a tensão na corda
.
No ângulo
com
a vertical, o peso tem a componente mgcos
na direção do cordel e mgsen
tangencial
ao arco de círculo, no sentido dos
decrescentes.
Seja s o comprimento do arco medido a partir do ponto mais baixo da
trajetória. Então:
onde
está
em radianos.
A componente
tangencial da 2a Lei de Newton dá:

ou
|
|
No caso de ângulos
pequenos, sen
=
,
então
O movimento de um
pêndulo, quando os deslocamentos angulares forem pequenos, é
harmônico simples.
A equação
acima pode ser escrita na forma

em que 
O período
sendo 
substituindo:
Clique
para ver applet sobre o pêndulo

4-O
pêndulo físico considerando o estudo do torque
Um corpo rígido
suspenso por um ponto que não coincide com o seu centro de massa
irá oscilar quando deslocado da posição de equilíbrio.
O sistema é um pêndulo físico. Seja um corpo material
plano suspenso por um ponto à distância D do centro de
massa e ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio
por um ângulo
.

Figura 3.9. Pêndulo
Físico
O torque em relação
ao ponto de suspensão tem o módulo MGDsen
e tende a provocar a diminuição de
. A Segunda Lei de Newton aplicada à rotação nos
dá:
Em que
é a acaeleração angular e I o momento de inércia
em relação ao ponto de suspensão. Enntrando com
a resultante dos torques - MgDsen
,
temos:
Se o deslocamento
angular for pequeno, vale a aproximação sen
=
,
portanto o movimento é harmônico
simples. A equação fica:
em que
. O período
é então:
|
|
|
Clique
para ver applet de pêndulo tipo mola

5-Oscilações
amortecidas
As oscilações
de um pêndulo ou de mola elástica terminam ao fim de um
certo tempo, pois há dissipação de energia mecânica
pelas forças de atrito. O movimento oscilatório, nessas
circunstâncias, se diz amortecido. Se o amortecimento for pequeno,
o sistema oscila com uma amplitude que diminui lentamente com o tempo.
A amplitude e a energia, que é proporcional ao quadrado da amplitude,
diminuem por uma porcentagem constante num certo intervalo de tempo.
Clique
para ver applet sobre oscilações forçadas

6-
Resumo

7-Exercícios
resolvidos

8-Exercícios

9-Bibliografia
9.1.Física
- volume 1
Paul Tipler
9.2.Física
- volume 1
Sears Zemansky
9.3.Um curso
de Física Básica
Moises Nussenveirg