Iniciaremos agora o estudo específico de movimentos de rotação, em particular dos chamados corpos rígidos, que além de sua grande importância prática, estão entre os sistemas de partículas de tipo mais simples tratados na mecânica. Introduziremos o novo conceito de momento angular que, assim como os de energia e momento, é um dos mais importantes conceitos físicos. Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal, de um corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas: um corpo é rígido quando a distância: entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável. Nenhum corpo real é perfeitamente rígido: uma barra de ação se deforma sob a ação de forças suficientemente intensas e duas bolas de bilhar que colidem deformam-se ao entrar em contato. Entretando, as deformações são em geral suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas em primeira aproximação. 1.1.1. Translação Diz-se que um corpo rígido tem um movimento de translação quando a direção de qualquer segmento que une dois de seus pontos não se altera durante o movimento. Isto implica que todos os pontos do corpo descrevem curvas paralelas, ou seja, superponíveis umas às outras por translação. Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todos têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração, que se chamam respectivamente, velocidade e aceleração de translação do corpo rígido. Para estudar o movimento de translação de um corpo rígido, basta estudá-lo para qualquer um de seus pontos (por exemplo, o centro de massa). Este tipo de movimento reduz-se então ao de um único ponto material. 1.1.2.Rotação Se
fixarmos dois pontos A e B de um corpo rígido, isto equivale
a fixar todos os pontos da reta definida por AB, pois todos eles têm
de manter inalteradas suas distâncias de A e de B. Qualquer partícula
do corpo situada fora desta reta tem de manter invariável sua
distância de A e de B. Qualquer partícula do corpo situada
fora desta reta tem de manter invariável sua distância
ao eixo AB, de modo que só pode descrever um círculo com
centro nesse eixo. Logo, AB é um eixo de rotação:
todas as partículas descrevem círculos com centro no eixo,
e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo. O estudo
do movimento reduz-se neste caso ao estudo do movimento circular de
qualquer partícula situada fora do eixo: temos uma rotação
em torno de um eixo fixo, que pode ser descrita em termos de uma única
coordenada, o ângulo de rotação. 1.2.Representação vetorial das rotações O
movimento mais simples de rotação de um corpo rígido
é a rotação em torno de um eixo fixo. O estudo
desse movimento reduz-se ao do movimento circular de um ponto P qualquer
numa secção transversal ao eixo. Se o eixo de rotação
permanece fixo, a rotação pode ser descrita por uma grandeza
escalar, que é o ângulo de rotação Imaginemos
um disco que gira em torno do eixo fixo, perpendicular ao seu plano
e que passa pelo seu centro. Os pontos próximos à periferia
do disco giram com velocidade maior do que os pontos próximos
ao centro. Porém, quando o disco gira varrendoum certo ângulo,
todos os pontos giram cobrindo o mesmo ângulo. O ângulo
de rotação é característica do disco como
um todo, como a velocidade de alteração do ângulo.
A
taxa temporal de variação do ângulo, é a mesma
para todas as partículas do disco e é a velocidade angular
de rotação:
A taxa temporal da variação
da velocidade angular é a aceleração angular
A
velocidade linear de uma partícula do disco é tangente
à respectiva trajetória circular e tem o valor Cada
partícula do disco tem uma aceleração radial, a aceleração
centrípeta, sempre dirigida para o centro com o módulo
2.Dinâmica dos corpos rígidos - Torque
Para passarmos
à dinâmica das rotações, vamos utilizar essa
analogia a fim de procurar uma grandeza que desempenhe um papel análogo
ao da força. Um forma de definir uma força F no movimento
linear seria através do trabalho O
análogo de f para rotações seria então uma
grandeza
![]() ![]() em que fizemos ![]() ![]() No primeiro termo, o torque ![]() ![]()
3. Momento de Inércia O momento de inércia é medida da resistência que um corpo oferece às modificações do seu movimento de rotação. É o análogo rotacional da massa. O momentio de inércia depende da distribuição da massa no interior do corpo em relação ao eixo de rotação. Quanto mais distante do eixo estiver uma certa massa, maior o momento de inércia correspondente. Assim, o momento de inércia, diferentemente da massa, depende do corpo e da localização do eixo de rotação.
3.1.Momento de inércia de um sistema de partículas Nos
sistemas constituídos por partículas discretas, podemos
calcular, diretamente pela equação
Raciocínio
da Resolução: Como os corpos são partículas
discretas, podemos aproveitar a equação
Observação:
Veja que I não depende da dimensão b, que não influencia
o afastamento entre as massas e o eixo de rotação. O momento
de inércia depende da posição do eixo de rotação.
3.2.Momento de inércia de um corpo contínuo Vamos
ver como se calcula o momento de inércia em alguns casos importantes,
correspondentes a corpos homogêneos de dformas geométricas
simples. Dizer que um corpo é homogêneo significa que sua
densidade de massa é constante, ou seja, que a massa 3.2.1. Barra delgada, em torno do centro A
massa dm de uma porção de comprimento dx da barra é
O
momento de inércia é dado pela integral:
3.2.3.Disco
circular , em torno do centro
3.2.4.Esfera,
em torno de um diâmetro
3.3.
Teorema dos eixos paralelos Muitas vezes é possível simplificar o cálculo dos momentos de inércia pelo teorema dos eixos paralelos, que realciona o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro de massa do corpo ao momento de inércia em relação a um segundo eixo, paralelo ao primeiro. Seja Icm o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo de massa M. Seja I o momento de inércia em relação a um outro eixo, paralelo ao primeiro, à distância h. O teorema dos eixos paralelos afirma que: Exemplo
: Calcular o momento de inércia de uma vareta homogênea
em relação ao eixo y' que passa pela sua extremidade. Resolução: Sabemos que um momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro da vareta é Icm = ML2/12 e queremos calcular I. Pode-se aproveitar o teorema dos eixos paralelos com h=L/2
Além
da força
é
o que se chama de momento angular da partícula em relação
ao ponto O. 4.1.Conservação do momento angular Vemos
que o momento angular está para o momento (linear)
Em
particular, isto vale sempre na ausência de forças externas,
ou seja, para um sistema isolado; neste caso, como o torque é
nulo em relação a qualquer ponto do espaço, o momento
angular em relação a qualquer ponto se conserva. No caso
de uma partícula sujeita a forças centrais, o momento
angular se conserva, como vimos, em relação ao centro
de forças.
Resolução:
Neste problema, as tensões T1 e T2 não
são iguais, pois não há atrito entre o cordel e
a polia. (Se não houvesse atrito, a polia não rodaria
em torno do seu eixo). Veja que T2 provoca um torque no sentido
horário e T1 um torque no sentido anti-horário na polia.
Com a 2a Lei de Newton aplicada a cada corpo e à polia
A energia cinética de um corpo que gira é a soma das energias cinéticas das suas partículas. A energia cinética de um elemento de massa mi é O somatório entre parênteses é o momento de inércia I em relação ao eixo de rotação. A energia cinética é então
Resolução:
Pela segunda lei de Newton, a aceleração do centro de
massa é igual à resultante das forças dividida
pela massa. As forças que atuam sobre a bola são o peso
m .
Como
a bola rola sem escorregar, o atrito é estático. Veja
que o resultado não depende do coeficiente de atrito desde que
seja suficiente para garantir que a bola não escorregue. 8. Bibliografia 1.Física
- volume 1
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